Structures hyperstatiques : que sont-elles et comment les résoudre

Les structures hyperstatiques jouent un rôle fondamental dans l’ingénierie structurelle car elles garantissent une grande résistance et stabilité, améliorant les performances d’œuvres complexes telles que des ponts, des bâtiments et d’autres infrastructures. Ces structures se caractérisent par la présence de contraintes excessives par rapport à celles strictement nécessaires pour maintenir l’équilibre statique sous l’action des charges appliquées. Cette «surabondance» de contraintes confère au système une plus grande rigidité et résistance par rapport à une configuration isostatique.

La conception et l’analyse des structures hyperstatiques nécessitent cependant une approche plus complexe, car les seules équations d’équilibre ne suffisent pas à décrire leur comportement. Dans cet article, nous explorerons les principales caractéristiques des structures hyperstatiques et analyserons les défis liés à leur résolution, illustrant les méthodes les plus courantes pour aborder ces problématiques.

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Les structures hyperstatiques de quoi s’agit il ?

Les structures hyperstatiques sont des configurations structurelles qui possèdent un nombre de contraintes supérieur à celui strictement nécessaire pour empêcher tout mouvement de corps rigide de la structure. En termes techniques, une structure est définie hyperstatique lorsque le degré d’hyperstaticité, c’est-à-dire le nombre de contraintes excessives par rapport aux équations d’équilibre disponibles, est supérieur à zéro. Cet excès de contraintes rend la structure non seulement stable et résistante, mais aussi plus rigide par rapport à une structure isostatique, qui a un nombre de contraintes égal à celui nécessaire pour l’équilibre.

Cependant, en raison de cette «surabondance» de contraintes, dans les structures hyperstatiques, les équations d’équilibre à elles seules ne suffisent pas à calculer les réactions de contrainte. Pour aborder ce problème, il est nécessaire de renoncer à l’hypothèse de comportement rigide des structures. En considérant la déformabilité, il est possible de déterminer les inconnues hyperstatiques en imposant non seulement le respect des conditions d’équilibre, mais aussi la congruence des déformations.

Un exemple courant de structure hyperstatique est la poutre encastrée à ses deux extrémités. Dans cette configuration, en plus des réactions verticales et horizontales (comme dans une poutre simplement appuyée), il y a des moments fléchissants aux deux extrémités, ce qui détermine un nombre d’inconnues supérieur aux seules trois équations d’équilibre statique disponibles. Cela rend la structure hyperstatique, c’est-à-dire excessivement contrainte et, par conséquent, plus complexe à analyser.

La principale caractéristique des structures hyperstatiques est leur capacité à distribuer les charges de manière plus uniforme par rapport aux structures isostatiques. Cela signifie qu’en présence de charges externes ou de conditions d’affaissement partiel, les forces internes peuvent se redistribuer de manière à maintenir l’ensemble de la structure en équilibre, augmentant la résistance globale de l’œuvre. Cependant, cette redistribution des forces rend l’analyse et le dimensionnement d’une structure hyperstatique plus complexes, nécessitant l’utilisation de méthodes avancées pour sa résolution.

Exemple de poutre hyperstatique

Structures labiles, isostatiques et hyperstatiques

Pour comprendre pleinement ce que sont les structures hyperstatiques, il est utile de les comparer aux deux autres principales catégories de structures : les structures labiles et celles isostatiques : 

• structures labiles : une structure est définie comme labile lorsqu’elle n’a pas un nombre suffisant de contraintes pour maintenir l’équilibre statique. En d’autres termes, ces structures sont instables et, sous l’action de charges, tendent à se déplacer indéfiniment. Par exemple, une poutre simplement appuyée sans contraintes latérales supplémentaires pourrait glisser latéralement sous l’action d’une charge transversale, rendant la structure labile. Les structures labiles ne sont pas capables de résister aux charges et, par conséquent, ne peuvent pas être considérées comme sûres dans des applications pratiques ;
• structures isostatiques : les structures isostatiques sont celles dans lesquelles le nombre de contraintes est exactement égal à celui requis pour l’équilibre statique. Pour ces structures, le nombre d’équations d’équilibre (trois pour les structures planes : somme des forces horizontales, somme des forces verticales et somme des moments) est suffisant pour déterminer toutes les réactions de contraintes. Les structures isostatiques sont stables et relativement simples à analyser, car il n’y a pas de contraintes excessives nécessitant des considérations supplémentaires. Cependant, contrairement aux structures hyperstatiques, elles ne sont pas capables de redistribuer les charges en cas de défaillance locale, étant donc moins résistantes ;
• structures hyperstatiques : comme déjà discuté, les structures hyperstatiques possèdent des contraintes excessives par rapport au minimum nécessaire pour garantir l’équilibre statique. Cette “surdimension” de contraintes confère aux structures hyperstatiques une plus grande capacité à redistribuer les charges internes et à résister à d’éventuelles défaillances partielles ou déformations locales, améliorant ainsi leur sécurité et durabilité dans le temps. Cependant, l’analyse de ces structures est plus complexe et nécessite l’utilisation de méthodes spécifiques pour résoudre les équations qui décrivent leur comportement.

Voici un tableau de comparaison clair et synthétique entre structures labiles, isostatiques et hyperstatiques : 

Méthodes pour la résolution des structures hyperstatiques

La résolution des structures hyperstatiques nécessite des méthodes analytiques et numériques qui vont au-delà des simples équations d’équilibre. Les deux méthodes principales utilisées pour l’analyse de ces systèmes sont : 

• la méthode des forces, qui prévoit l’introduction d’inconnues supplémentaires représentées par des forces (réactions de contraintes), qui sont déterminées en imposant le respect de la congruence de la structure ;
• la méthode des déplacements, qui se base sur l’introduction d’inconnues supplémentaires représentées par des déplacements, qui sont déterminés en imposant l’équilibre de la structure.

Ces deux méthodes permettent de déterminer les sollicitations internes et les déformations des structures hyperstatiques, en tenant compte des contraintes excessives et de la complexité de la configuration structurelle.

La méthode des forces

La méthode des forces est l’une des méthodes classiques utilisées pour analyser les structures hyperstatiques. Dans ces structures, les équations d’équilibre ne sont pas suffisantes pour déterminer toutes les réactions et les forces internes et il est donc nécessaire de considérer des équations supplémentaires, définies comme «équations de congruence», dérivant des conditions de compatibilité des déformations.

En pratique, cette méthode repose sur le principe de superposition des effets et prévoit de transformer idéalement la structure en une configuration isostatique, la libérant de certaines de ses contraintes hyperstatiques. Ces contraintes sont remplacées par des forces ou moments inconnus, qui sont ensuite déterminés en utilisant un système d’équations tenant compte des conditions de congruence.

Voici les étapes fondamentales de la méthode des forces : 

• définition du degré d’hyperstaticité de la structure : le premier pas consiste à quantifier le degré d’hyperstaticité, c’est-à-dire le nombre de contraintes qui excèdent celles nécessaires pour l’équilibre de la structure. Le degré d’hyperstaticité se calcule comme la différence entre le nombre total d’inconnues (réactions de contraintes et/ou forces internes) et le nombre d’équations d’équilibre disponibles ;
• transformation en structure isostatique équivalente : on procède en éliminant un nombre de contraintes égal au degré d’hyperstaticité, transformant ainsi la structure en une configuration isostatique. Les contraintes supprimées sont remplacées par les réactions de contraintes correspondantes (forces ou moments), qui représentent les inconnues du problème. Pour obtenir cette configuration isostatique, il est également possible de dégrader certaines contraintes ou d’introduire des contraintes internes qui divisent la structure en plusieurs corps, considérant parmi les inconnues hyperstatiques également les réactions ou forces internes que la contrainte d’origine ou le corps “entier” étaient capables d’exercer ;
• calcul des déformations : puisque la valeur des inconnues hyperstatiques n’est pas connue, les équations d’équilibre à elles seules ne sont pas suffisantes pour résoudre le problème. Étant donné que les structures hyperstatiques sont considérées comme déformables, on procède au calcul des déformations aux points de contraintes supprimés, en fonction des charges connues et de celles inconnues, en utilisant le principe de superposition des effets. Cette étape sert donc à déterminer les déformations induites par les forces externes (charges actives) et celles induites par les forces hyperstatiques ;
• imposition des conditions de congruence : une fois ces déformations définies (fonction des inconnues hyperstatiques), on applique les conditions de congruence, c’est-à-dire, on impose que les déplacements aux points de contraintes supprimés soient compatibles avec ces contraintes. En d’autres termes, les déplacements dus aux contraintes supprimées doivent être cohérents avec la condition originale de la structure. Cela conduit à la formulation d’un système d’équations, appelées équations de congruence, qui permet de déterminer les forces de contraintes inconnues ;
• calcul des sollicitations internes : une fois les inconnues hyperstatiques déterminées, il est possible de calculer les sollicitations internes (comme le cisaillement, le moment fléchissant et les forces axiales) dans toutes les sections de la structure. Ces sollicitations sont essentielles pour vérifier la résistance et la stabilité de l’ensemble du système.

La méthode des forces est particulièrement efficace pour les structures avec un nombre limité de degrés d’hyperstaticité. Cependant, à mesure que la complexité de la structure augmente, l’application de cette méthode peut devenir plus exigeante sur le plan computationnel, rendant nécessaire le recours à des méthodes plus avancées ou à l’utilisation de logiciels pour le calcul structurel.

La méthode des déplacements

La méthode des déplacements, également connue sous le nom de méthode des rigidités, est une approche supplémentaire utilisée pour l’analyse de structures où le nombre d’équations d’équilibre est insuffisant pour déterminer toutes les réactions de contrainte et les forces internes. Cette méthode est particulièrement adaptée à l’analyse de structures caractérisées par un degré élevé d’hyperstaticité.

Contrairement à la méthode des forces, qui se concentre sur des équations de congruence où les inconnues sont représentées par des forces ou des moments, la méthode des déplacements repose sur des équations d’équilibre où les inconnues sont des déplacements ou des rotations. En substance, tandis que la méthode des forces se concentre sur les forces de contrainte comme inconnues, la méthode des déplacements se concentre sur les déplacements et les déformations de la structure.

Le principe fondamental de la méthode des déplacements est que, dans une structure, les déplacements et les rotations aux nœuds déterminent les sollicitations internes dans les éléments structuraux (barres, poutres, etc.). Une fois ces déplacements et rotations déterminés, il est possible de calculer la distribution des forces internes.

Les étapes principales pour l’application de la méthode des déplacements sont les suivantes : 

• identification des déplacements inconnus : la première étape consiste à identifier les nœuds de la structure qui peuvent subir des déplacements et des rotations compatibles avec les contraintes appliquées. Ces déplacements et rotations, définis comme degrés de liberté de la structure, sont les inconnues du problème. On suppose que les barres sont infiniment rigides du point de vue axial, mais avec une rigidité de flexion constante ;
• imposition de déplacements unitaires : pour chaque déplacement inconnu, on impose une valeur unitaire (par exemple, une unité de déplacement horizontal, vertical ou de rotation), en considérant une variable à la fois et en supposant que les autres nœuds restent temporairement fixes. On dessine alors la configuration déformée de la structure sous l’effet de ce déplacement unitaire et on évalue les réactions internes dans les éléments structuraux résultant de ce déplacement ;
• application des équations d’équilibre : pour chaque nœud, on écrit les équations d’équilibre en tenant compte des charges externes appliquées et des contributions des forces internes générées par les déplacements unitaires calculés précédemment ;
• formulation de la matrice de rigidité : une fois les réactions internes calculées pour tous les déplacements unitaires, on construit la matrice de rigidité globale de la structure. Cette matrice établit la relation entre les déplacements nodaux et les forces nodales. Chaque élément de la matrice représente la rigidité de la structure par rapport à un certain degré de liberté ;
• calcul des déplacements : avec la matrice de rigidité définie, on résout le système d’équations linéaires pour obtenir les déplacements nodaux ;
• détermination des sollicitations internes : une fois les déplacements nodaux connus, on procède au calcul des sollicitations internes dans les éléments structuraux, telles que les forces axiales, les forces de cisaillement et les moments fléchissants, en utilisant les rigidités des éléments et les déplacements calculés.

Les méthodes décrites ci-dessus permettent d’évaluer avec précision le comportement structural des systèmes hyperstatiques, mais peuvent s’avérer extrêmement laborieuses et complexes si elles sont effectuées manuellement. Pour simplifier les processus de conception et de vérification de ces structures, vous pouvez tirer parti des capacités d’un logiciel de calcul structurel avancé, basé sur l’intégration entre la technologie BIM et l’analyse FEM. Grâce à la modélisation intelligente et à la puissance de calcul élevée de ce système, vous pourrez effectuer des analyses structurelles avancées sur des systèmes de tout type et matériau de manière entièrement automatique, optimisant ainsi les délais de conception et obtenant des résultats extrêmement fiables. Ne manquez pas l’occasion de tester gratuitement cette solution pendant une période de trente jours. Découvrez personnellement tous ses avantages et rendez le calcul structurel plus simple et efficace que jamais.

FAQ – «Structures hyperstatiques»

Que signifie structures statiquement déterminées ?

Les structures statiquement déterminées, également appelées isostatiques, sont celles dans lesquelles toutes les réactions de liaison et les sollicitations internes peuvent être calculées en utilisant exclusivement les équations de l’équilibre statique.
Pour une structure plane, il y a trois équations d’équilibre disponibles (somme des forces horizontales, somme des forces verticales et somme des moments). Si le nombre d’inconnues est égal à trois, la structure est isostatique.

Que signifie structures statiquement indéterminées ?

Les structures statiquement indéterminées, connues également sous le nom de structures hyperstatiques, sont celles dans lesquelles le nombre de liaisons ou d’inconnues est supérieur au nombre d’équations d’équilibre disponibles.
Dans ces cas, les équations statiques à elles seules ne suffisent pas à résoudre le système, et il est nécessaire de prendre en compte la déformabilité de la structure et d’utiliser des équations supplémentaires de congruence.

Quelle est la différence entre structures statiquement déterminées et structures statiquement indéterminées ?

La principale différence concerne le rapport entre le nombre de liaisons et les équations d’équilibre disponibles. Voici les points clés : 

• Liaisons :
  • Structures statiquement déterminées : ont des liaisons exactement suffisantes pour garantir l’équilibre.
  • Structures statiquement indéterminées : présentent des liaisons en excès par rapport à celles strictement nécessaires.
• Résolution :
  • Déterminée statiquement : se résolvent avec les seules équations d’équilibre.
  • Indéterminée statiquement : nécessitent également des équations de congruence basées sur la déformabilité.
• Analyse :
  • Déterminée : simple, directe, calculs rapides.
  • Indéterminée : plus complexe, nécessite des méthodes avancées ou des logiciels structurels.
• Considération de la déformabilité : 
  • Déterminée : généralement négligeable.
  • Indéterminée : doit toujours être considérée pour une analyse correcte.
• Comportement en cas d’affaissements :
  • Déterminée : moins résiliente, peut s’effondrer localement.
  • Indéterminée : plus sûre grâce à la capacité de redistribuer les charges internes.

En résumé, les structures déterminées sont plus simples à calculer, tandis que celles indéterminées offrent de meilleures performances, mais nécessitent une analyse plus approfondie.

Pourquoi est-il important d’analyser les structures hyperstatiques ?

L’analyse des structures hyperstatiques est importante car elles offrent une plus grande sécurité, stabilité et résistance par rapport aux structures isostatiques. Cependant, leur complexité nécessite des méthodes de calcul avancées pour : 

• déterminer les sollicitations internes et les déformations ;
• prévoir le comportement de la structure en cas de variations des charges ou des liaisons ;
• optimiser la conception pour garantir sécurité et efficacité économique.

Pourquoi les structures hyperstatiques sont-elles avantageuses par rapport aux structures isostatiques ?

Les structures hyperstatiques offrent une plus grande sécurité et résistance, car elles peuvent redistribuer les charges en cas d’affaissements locaux, évitant ainsi des effondrements soudains. De plus, elles sont moins sensibles aux déformations et aux affaissements des supports.

Quels sont les principaux méthodes pour résoudre les structures hyperstatiques ?

• Méthode des forces : on élimine les liaisons hyperstatiques et on introduit des inconnues équivalentes, puis on résout le système avec des équations de congruence.
• Méthode des déplacements : on établit des équations basées sur les déplacements et les rigidités de la structure pour déterminer les sollicitations internes.

Quels sont des exemples de structures hyperstatiques ?

• Poutres encastrées aux extrémités, qui présentent plus de réactions de liaison qu’une poutre simplement appuyée.
• Cadres et portiques en acier ou en béton armé, typiques dans les bâtiments et les ponts, qui offrent une plus grande résistance aux charges horizontales et verticales.
• Ponts à plusieurs travées, où les poutres continues sont reliées sur plusieurs appuis pour mieux redistribuer les charges.
• Coupoles et voûtes structurelles, qui doivent résister à des forces complexes grâce à leur hyperstaticité.